数にはほかにもまだたくさんのタイプがある。なかでも最もよく知られているのが、－１の平方根を含む「複素数」である。同様にして、より高次元の数の体系も構築できる。しかし、加減乗除という基本的な四則演算を定義できるのは、特殊なケースに限られる。
そうした特殊ケースのひとつが「八元数」という8次元の数体系である。八元数は1840年代に考案されたが、応用先がほとんど見つからず、その後150年 以上にわたって注目されずにきた。しかし現在、数学者たちは素粒子物理学の高度な研究を理解するのに八元数が有効かもしれないと考えるようになっている。 超対称性や超弦（ひも）理論などの研究に役立つようである。
私たちはみな、子どものころに数について学ぶ。まず数え方、そして 足し算、引き算、掛け算、割り算が続く。しかし、学校で教わるこの数体系は、考えうる多くの体系のひとつにすぎない。そうした別種の数は幾何学と物理学を 理解するうえで重要である。最も奇妙な数に「八元数」がある。
1843年に発見されて以来ほとんど顧みられずにきたが、ここ20～30 年で「超ひも理論」において興味深い重要性を持つと考えられるようになった。超ひも理論が宇宙を正しく記述しているとすると宇宙は10次元（または11次 元）であるが、八元数は次元の数がなぜそうなるのかを説明してくれる可能性がある。
宇宙についての理解を深めるのに使われた純粋数学の 例は、八元数が最初ではない。また、後に実用的な使い道があることがわかった数体系も、これが初めてではない。その理由を理解するにはまず、最も単純な 数、私たちが学校で教わった数体系である「実数」について考える必要がある。実数全体の集合は１本の数直線を形成するので、実数は１次元である。これを逆 に考えてもよい。つまり、数直線上の１点を指定するには1つの実数が必要になるから、直線は１次元である。
1500年代以前は実数が唯 一の選択肢だった。その後のルネサンス期に、意欲的な数学者たちが以前よりもずっと複雑な形式の方程式を解こうと試み、誰が最も難しい問題を解けるかを競 うコンテストまで開かれた。そこでイタリアの数学者・物理学者にしてギャンブラー、占星術師でもあったカルダーノが一種の秘密兵器として導入したのが、 －1の平方根だった。
ライバルたちは難癖をつけたかもしれないが、カルダーノは大胆にもこの奇妙な数を、答えが通常の実数になる長々と した計算の一部に利用した。この方法がなぜうまくいくのか、彼は確証がなかった。わかっていたのは、正しい計算結果が得られるということだけである。彼は この考え方を1545年に出版し、そこから数百年にわたる論争が始まった。つまり、－1の平方根は実在するのか、それとも単なる便法にすぎないのか、とい う問題である。
100年近く後に、誰あろう思索家デカルトその人が、この数に「虚数」という否定的な名前をつけ、この問題に彼なりの判 断を下した。虚数単位の記号iは虚数を意味する「imaginary] の略である。それでも数学者たちはカルダーノの志を継ぎ、「複素数」を用い始めた。複素数はa+biの形式をした数で、ここでaとbは通常の実数である。 1806年ころ、アルガンは複素数が平面上の点を表すという考え方を広めた。a+biがどのように平面上の点を表すのかは簡単な話で、数aはその点が原点 からどれだけ左右に離れているかを示し、数bは上下にどれだけ離れているかを表す。
こうして、どの複素数も平面上の1点と考えることができるが、アルガンはもう一歩踏み込んで、複素数に対する演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）を平面上での幾何学的操作として考える方法を示した（下図参照）。
どうして演算が幾何学的操作と考えられるのか、手始めに実数について考えてみよう。実数の加減算は数直線上の位置を左右にスライドすることに対応してい る。正の数による乗算と除算は、数直線を拡大または圧縮することに対応する。例えば2を掛けることは数直線を2倍に拡大し、2で割ることは数直線を半分に 圧縮して、数直線上のすべての点をそれに応じて動かすことに対応する。－1を掛けると、数直線の向きは反転する。
同じ手続きが複素数に 対しても通用するが、若干の追加がある。平面上の1点に任意の複素数a + biを加えると、その点はaだけ右（または左）に、bだけ上（または下）にスライドする。また、複素数による乗算は複素平面を拡大または圧縮し、さらに回 転もする。iを掛けると複素平面は四分の一（90°=π/2）回転する。だから、1にiを2回掛けると複素平面はちょうど半（π）回転し、最初に1だった 点が－1に来る。除算は乗算の逆で、拡大の代わりに圧縮（または圧縮の代わりに拡大）してから、乗算の場合とは逆向きに回転する。
実数 に対してできることのほぼすべてが、複素数に対しても実行できる。それどころか、カルダーノが気づいたように、ほとんどは複素数のほうがうまくいく。複素 数を使うと、実数の場合よりも多くの方程式を解くことができるからである。2次元の数体系によって計算力が高まるのなら、もっと高次元の数体系ではどうだ ろう？
残念ながら、単純に拡張することはできないことがわかっている。アルガンから数十年後に、あるアイルランド人数学者が高次元の 数体系の秘密を解き明かすことになる。そしてさらに200年たった現在になって初めて、高次元の数体系がいかに効果的なツールであるかがわかってきた。
図：実数を超えて多次元での算術
私 たちは小学校で、足し算と引き算という抽象的な考え方を、数直線上て数を士かすという具体的な操作と関連づけて教わる。この代数と幾何の結びつきは実にに 果的である。このため数学者は、想像を超えた8次元世界の問題を解くのに八元数の代数学を利用できる。下の図は、実数の代数演算を複素数（2次元）に拡張 する方法を示している。
sonokininatte55.blog.fc2.com/blog-entry-184.htmlその木に成って５５さんちから転載しました。
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